이미지가 안보입니다.

@팻시 두 원방정식은 x^2+y^2=100 과 (x-20)^2+(y+10)^2=400 입니다.
어느 한 쪽으로 빼면 직선이 나옵니다.
나온 y=2x-10 는 공통식입니다.
이를 어느 한 원에 대입하면 5x(x-8)=0 으로 정리됩니다.
x의 근은 0과 8 이며 y는 -10과 6 입니다.
두 원방정식으로 직접 교점을 구할 수도 있는데 복잡해지니 공통현 1차식을 이용하는 게 편합니다.

좌표 (0, 0) 에서 y=2x-10 까지 거리는 관련 공식에 의해서 2√5
좌표 (0, 10) 에서 (8, 6) 까지 길이는 관련 공식에 의해서 4√5
좌표 (20, 10) 에서 (8, 6) 까지 길이는 관련 공식에 의해서 4√10
4√5 과 4√10 이 두 현의 길이가 중요한 이유는 부채꼴의 넓이를 비례로 구해야 하기 때문입니다.
(두 부채꼴 면적에서 각각의 삼각형 면적를 제하고 더한 게 겹치는 부분의 면적)

흔히 부채꼴 넓이는 사이각으로 구하기에 예의 문제도 처음에는 알려진 각을 찾았고 cos 또는 sin 으로 접근했었으나 결국은 각을 특정할 수 없었고 cos, sin이 소거되지 않았습니다.
각을 포기하고 길이 비례로 간 이유는 각과 현의 길이 역시 비례하는 것이라서 입니다.

답이 단순하게 딱 떨어지지 않아 논란의 소지가 있는 문제라고 생각합니다.
그러나 이 문제의 핵심은 여러 곳이고 다양한 식들이 써야 하기에 학습에는 좋습니다.
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위 풀이에서 다음 줄을 아래와 같이 수정합니다.
(삼각형 계산에서 착오)
Y=50π x (8√5 / (8√5 + 4√5)) - 40
X + Y = 100π / 3 + 200π / (2 + √2) - 200