adm/board_list.php에 bo_admin이 없는데
adm/board_list_update.php 에서 bo_admin 값을 업데이트 하기 때문에
게시판 리스트에서 값을 변경한다면 게시판 관리자가 사라지게됩니다.

그리고 공지의 경우 체크박스의 체크를 해제하면 변수 자체가 넘어가지 않는 것 같습니다.
$_POST에 값이 없었습니다.

if (isset($notice)) {} 를 걷어내고

if (isset($notice) && $notice) { 공지선택일때 }
else {선택하지 않았을 때}

이렇게 하면 공지 해제가 가능합니다.

덧붙여서 array를 사용하지 않고
trim(preg_replace("/\b$wr_id\b/", $board["bo_notice"]));
을 사용하는건 어떨지 모르겠습니다. \b <= 아주 유용한 것 같습니다. ^^;;