@개노미 님 댓글 정말 감사합니다.
위 코드로 테스트 해보니
$bg_1_sum += $row["bg_1"]; 부분 3군데가 에러가 나네요.
Warning: A non-numeric value encountered in
참고로 예시가 숫자로 되어있는데요.
실제는 한글입니다.

$result = array();
$sql = "SELECT bg_1, count(bg_1) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_1";
$result[] = sql_fetch($sql);
$sql = "SELECT bg_2, count(bg_2) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_2";
$result[] = sql_fetch($sql);
$sql = "SELECT bg_3, count(bg_3) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_3";
$result[] = sql_fetch($sql);
foreach ((array) $result as $key => $value) {
    $sort[$key] = $value['cnt'];
}
array_multisort($sort, SORT_DESC, $result);
print_r($result);

이걸로 한번 해보세요

@개노미 님 에러는 안나네요.
print_r($result); 했을시 단 한줄 뿌려주네요.

$result = array();
$sql = "SELECT bg_1 AS name, count(bg_1) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_1";
$result[] = sql_fetch($sql);
$sql = "SELECT bg_2 AS name, count(bg_2) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_2";
$result[] = sql_fetch($sql);
$sql = "SELECT bg_3 AS name, count(bg_3) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_3";
$result[] = sql_fetch($sql);
foreach ((array) $result as $key => $value) {
    $sort[$key] = $value['cnt'];
}
array_multisort($sort, SORT_DESC, $result);
foreach($result as $key => $value){
	echo "<div class=\"li\">".$value["name"]."(".$value["cnt"].")</div>";
}

$result안에 중복된 값을 기준으로 정렬되어 있을 것이구요
출력은 따로 생각하고 계신게 있는걸까요?

@개노미 님 출력은 질문 내용에 있듯이 중복수가 많은 순으로 출력입니다.
지금 주신 코드로 테스트하면 에러는 없는데요.
테이블에 4개 4줄이 저장되어 있는데 주신 코드로하면 딱 한줄만 나오네요.
제가 적용을 잘 못하는건지...ㅠㅠ
우선은 좀 더 확인 해봐야겠네요..;;

죄송합니다;; 제가 코드를 생각만하고 치다보니 result구간에 array로 들어가야 하는데 실수가 있었네요.

$result = array();
$sql = "SELECT bg_1 AS name, count(bg_1) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_1";
$qry = sql_query($sql);
while($row = sql_fetch_array($qry)){
	$result[] = $row;
}
$sql = "SELECT bg_2 AS name, count(bg_2) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_2";
$qry = sql_query($sql);
while($row = sql_fetch_array($qry)){
	$result[] = $row;
}
$sql = "SELECT bg_3 AS name, count(bg_3) AS cnt FROM g5_table_aaa GROUP BY bg_3";
$qry = sql_query($sql);
while($row = sql_fetch_array($qry)){
	$result[] = $row;
}
foreach ((array) $result as $key => $value) {
    $sort[$key] = $value['cnt'];
}
array_multisort($sort, SORT_DESC, $result);
foreach($result as $key => $value){
	echo "<div class=\"li\">".$value["name"]."(".$value["cnt"].")</div>";
}

결과
7777(3)
8888(3)
9999(2)
2319(1)
7107(1)
7148(1)
8012(1)
8128(1)
9009(1)
9799(1)

디비셋팅해서 코드 돌려본 것이니 아마 잘 돌지 않을까 싶네요

@개노미 님 정말정말 감사합니다^^
완전 대박입니다.
이게 되는군요^^;

괜히 저때문에 한참 해매셨을텐데;;
지금이라도 된다니 다행이네요ㅋㅋ

@개노미 님 무슨 말씀을 귀환 시간내서 코드까지 완벽히 해주셨는데요.
다시 한번 깊이 감사드리니다^^