2012 중국여자수학올림피아드 5번문제

팻시

· 2019-09-17 (화) 01:09:41 · 조회 2881 2881 · 댓글 8 8

2012 중국여자수학올림피아드 5번문제

아래 그림과 같이, 삼각형 $A B C$

의 내심을 $I$ 라 하고 내접원이 변 $A B$ , 변 $A C$ 와 만나는 점을 각각 $D$ , $E$ 라 하자. 삼각형 $B C I$ 의 외심을 $O$ 라고 할 때, $∠ O D B = ∠ O E C$ 임을 보여라.

식으로 쓰려면 힘들고 보조선 정도 그어서 알아보게만 해주세요.

댓글 8개

감기약

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2019-09-17 (화) 11:46:52

질문을 읽지도 못하는 ㅠ.ㅠ

상석하대

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2019-09-17 (화) 12:06:59

어떤 삼각형이라는 조건은 없으니까 여기서 배운대로 정삼각형으로 가정한다?!그러면 안되겠지요,

팻시

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2019-09-17 (화) 15:14:39

@상석하대 문제의 의도가 모든 삼각형이니 그 중 정삼각형을 예로 잡으면 시작이 쉬울것 같은데요. 그러고 나면 모든 삼각형으로의 확장도 쉬울것 같아요.

island1

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2019-09-17 (화) 15:21:20

이리저리 선을 긋다보니 AIO가 일직선 상에 딱 떨어지더군요.(그림을 딱맞게 그리신건지ㅠ)만약 일직선 상에 있다면 삼각형 DAO와 EAO가 합동이니 ∠ODB=∠OEC 이 맞더군요. 근데 일직선이라는게 증명이 안되네요ㅠ

팻시

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2019-09-17 (화) 15:28:05

@island1 이게 도움이 될까요?
삼각형의 외심과 내심, 삼각형의 내심과 외심 비교 >> https://mathbang.net/129

island1

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2019-09-17 (화) 16:54:33

@팻시 일직선 상에 있다는 전제에 ∠AIB + ∠BIO = 180도 증명입니다.

[http://sir.kr/data/editor/1909/d9074bdab303e5ddd11e81464be48564_1568706098_7752.jpg]

첫째 내심I는 세각의 이등분선 교점으로 ∠BIA = 180-a-b 입니다.
둘째 ∠BIO는 90-c 입니다.
이거 증명하는데 팻시님의 링크가 아주 도움이 되었습니다.
∠BOI = 2C 입니다. 삼각형 BOI가 이등변삼각형이므로 ∠BIO는 (180-2c) / 2 = 90-c
∠AIB + ∠BIO = 180-a-b+90 -c = 270-a-b-c 삼각형 ABC 는 2a+2b+2c=180
= 270-(a+b+c) = 270-90 = 180도로 AIO는 일직선입니다.

파아랑

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2019-09-17 (화) 20:45:33

와우 이런게 있었네요

파아랑

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2019-09-21 (토) 13:33:35

어렵다 ㅎㅎ

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