네

추상적인 질문이지만 정리를 해보면 다음과 같습니다.
학교에 여러 선생님이 계시듯 개발 직군도 여러 분야가 있습니다.
클라이언트 사이드 개발자, 서버사이드 개발자 그리고 시스템 엔지니어 외 기타 등등
클라이언트도 모바일이냐 아니냐에 따라 갈리고 또 윈도우냐 아니냐로 갈리기에
어떠한 개발자가 되고싶은지 부터 지정을 하는게 우선순위 입니다.
서버도 마찬가지로 컴파일 언어가 있고 스크립트 언어가 있습니다.
언급하신 C 와 JAVA 는 컴파일 언어라고 하고요
더 검색해보시면 아시겠지만 C 안에서도 C, C++, C# objectC 그외 등등 이 존재하죠
스크립트 언어도 php ruby python swift 등등도 있고요.
어느것이 무조건 필수라고 하긴 어렵지만 적어도 어떠한 쓰임새로 쓰이는지는 알아야 합니다.

또 수학이 중요합니다. DB 만 보더라도 수학시간에 배우셨던 '집합' 이 적용되는 부분이고 그 외
여러 부분에서도 수학은 사용됩니다.
물론 알면 더 좋은 코드를 짜기 쉬워지는거지 무조건 해야해 까진 아닙니다만..
여튼 그렇습니다.

고교수학까지는 하셔야

수학을 알아야 한다기 보다는 어떤식으로 값을 유도해 낼지를 알아야 한다고 보시면 됩니다
프로그램은 어떤종류의 프로그래머가 될지를 선택해서 해당하는 프로그램을 배워야 겠지요