상품마다 다르겠죠.
웹호스팅은 안될수도 있고, 서버호스팅은 될거 같고, 중요한건 카페24에 문의하는게 좋겠죠.

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소켓통신이라면 서버가 계속 깨어있으면서 커넥션 유지를 해주셔야 될텐데
결국 서버 호스팅으로 가셔야할것 같네요, 저렴한 비용으로 하시려면 클라우드로호스팅으로 하시면 되겠네요

그러나, 클라이언트 웹소켓은 아직까지도 시기상조인거 같더라구요..
최근 관련 프로젝트 진행하는데.. 안드로이드 구버전 제대로 지원안하던데요......윽..

소켓통신이야 방법은 많죠, PHP로 소켓 만들어서 만들수도 있습니다 (하지만 싱글스레드.... 그래도 C++기반이라 빠릅니다~)

단독 호스팅(혹은 클라우드)이고 간단하게 하시려면 node.js 에 socket.io를 연동시켜하는 방법을 추천드립니다~~
socket.io가 websocket, XHR 다 지원합니다~~ (폴링,롱폴링 다 됩니다)

폴링은 기본적으로 계속 서로 물어보는 형태라서 실시간에는 적합하지는 않습니다..
데이터 교환이 없어도 연결 유지에 지속적으로 패킷을 소모해야합니다.
폴링이 대충이런 형태지요
while(죽을때까지)
{
  클라이언트: 서버님 제가 가져갈 데이터가 있사옵니까?
    서버: 없느니라 / 서버: 자 이걸 가져가거라..
}

자세한건 구글링 해보시길~~

혹시 단순 PUSH 문제로만 사용하시는거면, GCM 사용하시면 따로 서버 없이 구현이 가능합니다.
아 그리고 폴링이 트래픽 소모가 좀 있는편이긴 하지만... 그렇게 많지도 않습니다... (한달에 몇메가 수준?)
카카오톡은 여러가지 방법으로 푸시를 하지만, 카카오톡도 폴링으로 구현되고 있습니다..

ssh 접속 하시려면 아마 따로 신청 하셔야 될 걸요??

신청하고 수락 받고가 귀찮은 저는 ssh 를 너무 등한시...;