호스팅 회사에 알려주면 알아서 해줍니다.

일단 새로운 서버의 dns를 살리고 (금요일 밤 또는 토요일 새벽)
옛날 서버의 경우는 접속을 하면 무조건 새로운 서버로 forwarding을 하게 index.php 를 수정합니다
이때 forwarding은 새로운 서버의 ip로 합니다.
1-3일 지난 다음에는 과거 서버를 내리면 되구요.

제가 여러번 서버 이전을 해본 경험으로는 이게 가장 나은 방법이더라구요.

불당님 의견에 한표~
서버 dns는 상위 dns 까지 위치 하는데 시간이 약간씩 틀립니다.
즉 지역마다(DNS 서버) 약간의 차이가 생긴다고 할까요,
그러니 가장 좋은 방법은 자신의 서버를 가지고 있거나, 아니면 옮겨질 서버 DNS를 모두 셋팅 해두신후 원래 서버에서 포워딩 시키는게 좋을듯 하네요.

만약 서버를 통체로(H/W) 옮기시는거라면... dnsever등으로 dns옮기셔서 호스트IP로 설정하신후 옮기셔서 다시 dns를 옮기시면 중단없이 사용가능합니다.

안전하게 홈페이지를 옮길수 있는 방법입니다.
1. 새로운 네임서버 셋팅 (이때 IP셋팅은 기존 서버의 IP로 일단 셋팅합니다. (기존 홈피로 포워딩을 위해)
기존 네임서버가 있는 경우 각 도메인의 TTL값을 0으로 셋팅합니다.
2. 새로 사용할 네임서버를 등록합니다. (도메인 등록업체에 하시면 됩니다)
3. 하루정도 기다리신후 네임서버가 등록되었는지 확인합니다. 등록 확인후 기존 도메인들의 네임서버를 신규네임서버로 변경합니다.
4. 이렇게 하신후 4일정도 느긋하게 기다립니다. 4일정도후에 사용하실 도메인들이 신규네임서버로 변경되었는지 확인합니다. (2~3일정도면 가능하지만 안전을 위해 최대한 느긋하게 4일정도 기다립니다)
5. 완전히 네임서버가 변경되었으면 홈페이지를 신규서버로 이전합니다. (프로그램+DB)
6. 다 옮긴후 새로운 네임서버의 도메인별 IP를 신규서버 IP로 변경합니다.
7. 이상없는지 확인하신후 TTL값을 적당한 값으로 변경합니다.
이렇게 하시면 됩니다. 참고하시길....