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EBS - 넘버스 2부, 천국의 사다리 ∞ 무한

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EBS 다큐프라임 - Docuprime_넘버스 2부- 천국의 사다리, ∞_#001

https://www.youtube.com/watch?v=-aZhhtKtRR0



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한번 보았습니다. 그런데 어렵습니다.

다시 보고 있습니다.

이번에는 구석구석 살피면서 봅니다.

모르는 것은 검색하며 이해하려 노력은 하고 있습니다.

불완전한 감상문인데요. 아마추어다 보니 원래 이렇습니다. ㅡㅡ

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무한의 기호 '∞' 탄생. 


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바티칸시국


20세기 말 교황청은 400여 년간 비밀로 묻어 둔 문서 하나를 공개합니다.


1633년에 있었던 어떤 한 재판 기록입니다.


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우주의 중심은 지구가 아닌 태양이며


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지구가 움직인다는 생각을 언제 처음 시작했고, 얼마나 오랫동안 했는가?


갈릴레오는 이전에도 지금도 그 생각에 동조하지 않는다고 말 합니다.


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천동설입니다. 


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우주의 중심에 지구가 있었습니다.


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모든 천체는 지구를 중심으로 돕니다. 


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바깥쪽에는 무수히 많은 별이 있습니다.


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성 삼위일체


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벽 한가운데 누가 굴을 파 놓았나? 


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분명히 그림인데? 


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저 공간은 뭔가?


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갈릴레오는 그 암흑을 똑바로 바라본 사람입니다.


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암흑 거기에 무한이 있었습니다.


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무한을 맨 처음 본 사람들은 수학자가 아니라 화가들이었습니다.


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원근법입니다. 


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가도 가도 끝이 없는 길.


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풍경 앞에 그림판을 세웁니다.


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화가가 공간 속의 어떤 지점을 봅니다.


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그 지점과 눈을 잇는 선이 그림판을 통과할 때 점이 생깁니다.


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더 먼 공간도 와서 점으로 찍힙니다.


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그 점을 이으면 선이 됩니다.


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선은 어떤 한 점을 향해 갑니다.


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끝없이 계속되는 두 개의 선이 모인 점.


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그림 속에 있던 점이 현실에는 없습니다.

저 길은 평행하기 때문입니다.


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실제로 가면 무한은 도망가 버립니다.

영원히 도망갑니다. 무한은 이게 문제입니다.


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우리는 또 하나의 무한 앞에 서 있습니다.


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점과 선의 경기 마라톤입니다.


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마라토너가 달립니다.

한발을 한발 순간을 건너야 경기가 끝납니다.


그 순간을 잡아 볼까요?


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순간, 이 순간이 정말 순간일까요? 


이 순간을 쪼개고 쪼개고 쪼개면은 그때 그 순간은 또 뭘까요?


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2500년 전에도 이런 고민을 했습니다.


움직인다는 것은 도대체 무엇인가?


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제논입니다.


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'만물은 하나라서 세상에 빈틈은 존재하지 않는다.'

(이 말씀이 맞다고 생각됩니다. ㅡㅡ 흑흑.) 


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"달리기 시합을 상상해보라!"


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아주 빠른 아킬레우스와 느린 거북이의 시합입니다.


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거북이가 조금 먼저 출발하도록 해주는 겁니다. 


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그러면 아킬레우스가 따라잡는 것이 불가능합니다.


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아킬레우스가 거북이를 따라잡으려고 합니다.


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그런데? 거북이도 그동안에 더 갑니다.


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아킬레우스가 또 따라가면? 거북이는 가만있나요?


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이런 식이라면 영원히 못 따라잡습니다. 


???


말도 안 돼죠? 이상합니다.

그런데 논리적으로 반박이 안 됩니다.


??? 논리적으로 반박이 왜 안 되지요?


제논은 점점 기막힌 얘기를 풀어놓습니다.


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숨이 계속 차오르는데 이렇게 한 발 한 발 달려도  

결승선에 도달하지 못한다는 겁니다.


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어떤 지점까지 가려면 그 중간을 먼저가야 합니다. 


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그 중간에 가려면? 그 중간의 중간까지 가야 합니다.


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이런 식이면 거리가 아무리 짧아도 그 중간은 먼저가야 합니다.


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순간을 쪼개서 계속 들어가 보면? 그 안에 무한이 있습니다.


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갈릴레오의 집


종교재판을 받고 돌아온 갈릴레오는 우울증을 앓습니다.


'내가 옳다. 그들이 틀렸다.'


지지해 줄 친구들이 필요합니다.


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아리스토텔레스도 고민했던 이상한 바퀴 이야기입니다. 


큰 바퀴 안에 작은 바퀴가 있습니다.


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작은 바퀴의 둘레는 큰 바퀴보다 작습니다. 

그런데 이 바퀴를 굴리면 이상한 현상이 일어납니다.


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궤적이 같습니다. 둘레가 다른데? 왜 이럴까요?


정말 이 세상은 모든 원의 둘레가 같은 걸까요?


갈릴레오는 이 역설을 육각형 바퀴로 설명합니다.


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큰 육각형 바퀴가 구를 때 작은 육각형 바퀴는 땅에 밀착하지 않습니다.


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점프합니다.


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육각형에서 12각형, 24각형 각이 많아질수록 더 많이 점프합니다.


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간격은 더 좁아집니다.


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그러다 선이 됩니다. 


두 명의 친구 중 한명이 질문합니다.


원은 그렇다치고 한 가운데 점은 뭡니까?


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가운데 점이 그리는 궤적도 원이 그리는 궤적과 같습니다.


점과 선이 같다니?


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새로운 두 과학


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쪼갤 수 없는 점으로 어떻게 쪼갤 수 있는 직선을 만든다는 말입니까?


무한한 점이 어떻게 유한한 선을 만들지?


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점 네 개 


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이 선분은 반으로 자를 수 있습니다.


홀수로 선을 만들면?


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점은 쪼갤 수 없으니 반으로 안 잘립니다.


선을 만들려면 점은 무한개 있어야 합니다.


그런데?


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긴 선에 무한개의 점이 있습니다. 


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짧은 선에도 무한개의 점이 있습니다.


어떤 선이 더 큰가?


무한개의 자연수 


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이 중에 짝수만 꺼내 짧은 선분을 만듭니다.


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두 개가 서로 일대일 짝이 맞습니다.


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자연수가 더 많은 것 같은데? 같습니다.

큰 것은 너무 커서 또 작은 것은 너무 작아서…


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무한의 세계에서는 크다, 작다 혹은 같다를 논할 수가 없다.


이 문제를 해결하는 사람은 200년 후에나 나타나게 됩니다.


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독일의 수학자, 게오르그 칸토어가 등장합니다.

여동생 친구와 결혼한 후 안락하게 살았던 칸토어
무한을 만나면서부터 달라집니다.

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수의 세계, 끝없이 작아지기도 하고, 커지기도 하는 무한의 세계

무한을 가기 전에 유한을 알아야 합니다.

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버스 안에 빈 좌석들이 있습니다.

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정류장에는 버스를 기다리는 사람들이 있습니다.

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빈 좌석과 사람들 중 어떤 것이 더 많을까요?

일대일로 앉혀 보면 압니다.

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사람이 의자보다 하나 더 많습니다.

이 일대일 대응으로 무한집합의 원소를 셉니다.
유한집합처럼 크기도 비교할 수 있습니다.

무한으로 가는 길

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그 끝이 보이지 않아 엄두가 나지 않던 길, 칸토어가 갑니다.

자연수는 끝없이 계속되는 무한집합입니다.

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부분집합을 불러볼까요?

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먼저 짝수,
자연수 하나 하나와 짝수 하나 하나는 일대일 대응.

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자연수 갯수와 짝수 갯수는 같습니다.

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홀수는 어떨까요?

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자연수와 홀수도 갯수가 같습니다.

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칸토어는 분수를 세려 합니다.
분수도 차례대로 줄을 세우면 자연수와 비교를 할 수 있습니다.

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이 난해한 도형이 수학사를 바꿔버렸습니다.

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수학의 본질은 자유에 있다.

36:49

댓글 2개

유한을 알고 대처하려면, 무한을 알아야 할 것 같아서요.
항복은요. ㅡㅡ 신이 우리를 이렇게 만드셨으니?
책임 지실 겁니다. ㅋㅋㅋ

저는 요즘 파동만 생각하다가?
분자생물학, 입자물리학, 양자역학. < 이런 놈들 읽고 있는데요.
정신이 없습니다. ㅡㅡ/
하지만 궁금하여 보고 있습니다.
이해가 잘 안 갑니다. 그래서 자꾸 이해하고자 노력합니다.
수학은 이것들을 아는데 꼭 필요한 학문 같아서요.
정정하겠습니다. '증명하는데' 입니다.
어쩔 수 없이 배우고 있습니다. < 참.
저는 수학만큼은 정말 초보입니다. < 진실.

2017.07.16 13:24:10

고맙습니다. 언제 우리 둘이 만나서 소주 한 잔 합시다! ^^
정말 고맙습니다. 감사합니다.
이제 뭔가 조금 알겠습니다. !
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